2018年11月1日

龐兆恩 數裏見真章

波幅的計算和預測

當美國聯儲局決定把資產負債表的規模縮小，意味着熱錢的減少和聯邦基金利率的準備提升。貨幣基數直接決定市場的流動性，繼而影響風險資產的價格。有說市場最近的大幅波動是因為中美貿易摩擦、政治緊張情況、特朗普推動的政策等不確定因素，筆者同意這些都是合理解釋，但如不是縮表的關係，也不一定能引起市場震盪。回想在流動性充足的時代，就算是英國脫歐公投和美國總統選舉出現了爆冷結果，也未能引致太大的波動。自今年2月起，眾多風險資產的波動幅度都有顯著的增加。比方說，新興市場的貨幣如阿根廷和土耳其的貨幣在8月份的一天跌幅高達13%至15%，股票市場一天波動3%現在也變成尋常事。如果比較過去幾年和今年的波幅，可以發現各類風險資產的波幅都發生了結構性改變。

在風險管理的範疇裏有一重要課題，就是波幅計算和預測。在一般印象中，預測金融市場的方向並不簡單。若果有人說要預測恒生指數未來一個月的回報率，而最後預測準確，這人有可能是投資高手，也有可能是運氣好。金融學術界基本上會假設資產價格都是隨機游走（random walk），以致不能預測價格變動。當然，業界對這假設肯定存有保留，不然就沒有主動基金和對沖基金的存在。

要建立一個預測回報的模型，並不是說想做就能做到。相比回報預測，波幅預測相對容易和準確。早在55年前的1963年，一位名叫Mandelbrot的學者發現，資產價格高波動時都會跟隨着高波動，低波動後跟隨低波動，高波動和低波動往往各自聚集在某一時間段，這獨特現象就稱之為波動集聚（Volatility Clustering）。這特徵可以在統計學上表現出來，首先把每天的日回報率求出絕對值，再利用今天的絕對回報率（T）和下一個交易天（T+1）的絕對回報率算出相關性，也是自相關性（autocorrelation），從自相關性的大小可以檢驗集群的特徵。

筆者利用了過去10年滬深300指數的數據，計算絕對回報率T和T+1的自相關性，統計結果為顯著的17.2%，說明現在今天波幅的幅度跟明天波幅有着顯著關係。把今天的絕對回報率跟再下一個交易天（T+2）的絕對回報率計算，同時發現自相關性繼續維持在這水平。其實，當到了第100個交易天（T+100）時，自相關性還能停留在10%的水平。這統計上的集聚特徵就成了波幅預測的重要基石。

因為波幅預測的重要性，在過去30年裏，學者花了不少精力改良波幅預測模型，其中最有名莫過於是2003年諾貝爾得主Granger和Engle，得獎原因就是基於他們對波幅預測的研究貢獻。波幅預測種類繁多，業界作出選擇時都會基於模型的實用價值，一方面會要求一定的準確度，另一方面也需要模型容易理解和操作。

在眾多預測方法中，最簡單的是利用過去一段時期的日回報率算出歷史標準差（standard deviation），作為波幅預測。這方法在操作和計算上都十分簡單，唯一要決定的是樣本期的大小。

短數據窗口勝在反應及時

一個常用的數據窗口，是採用過去250天的日回報率來計算標準差，顯示的是過去10年滬深300指數的歷史標準差，當中利用了250天的數據窗口，為了作出比較，圖中也包含了50天窗口作為參數。兩種波幅預測有着明顯的分別，短數據窗口的好處是反應及時，但同時變動較多；長數據窗口產生的預測相對平穩，不會有突然跳躍的情況。在專業投資流程中，很多時會利用波幅預測來決定投資寸頭，如果波幅大的時候就要把投資寸頭降低，而波幅小的時候就把投資額提高，甚至利用槓桿，這樣的風險管理方法可以把風險維持在一個穩定水平。綜合而言，短的數據窗口比較適用在短線策略，因為能作出及時的反應，如是長線投資，就應採用長的數據窗口，藉以降低不必要的交易成本。

剛才提到波幅預測模型種類眾多，因此需要一套系統性的理論去評核預測績效。要評估預測的準確性，第一步先要定義預測目標。如果想預測的是下一個月的波幅，常用可以利用未來一個月的日回報率的標準差來作為預測目標。

評估預測績效主要有兩種方法，第一是檢驗預測跟目標的距離，數學上的表達就是：

此數值愈小，即是愈接近目標，因此準確性愈高。筆者利用了之前計算好的波幅預測，為過去10年作了一個簡單統計檢驗，發現50天窗口預測的平均誤差是6%，而250天窗口預測的平均誤差則是8.2%，所以說，用50天作窗口的預測比250天的窗口準確。除了距離外，另一評核方法就是檢驗預測與目標的相關性，一個好的預測應是跟目標一起升一起降，而實際的統計測試就是通過迴歸分析（regression）找出預測與目標之間的決定系數（R-Square），過去10年的分析顯示，50天窗口的R-Square要比250天的高（54%比33%），結果顯示在A股市場中短窗口的預測反應較快且準確，但採用時必須考慮交易成本的因素。利用歷史標準差來預測波幅只是一個初階方法，好處是操作簡單，但它忽略了波幅時間順序的一些重要特徵，例如波幅的均值回歸，要提高預測績效，就需要採用一些先進的量化模型，比方是GARCH模型。下期再續。

作者為Rivermap Quantitative Research創辦人，專注於A股的量化分析。

 

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