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2018年1月12日

盧安迪 自由的國度

數學教育的角色

在去年的〈數學不是算術〉(刊2017年7月29日《信報》)一文中,我提出過一個關於武功的類比,以帶出思維能力的重要性:靈活運用基本知識來解決難題,就像用木劍練武。當一個人以草木竹石皆可為劍,拿起利劍時便會如虎添翼,正如當我們提升了思維能力,將來學了進階知識後,便可同樣靈活地運用該等知識,解決更難的問題。

最近我應一間教育機構邀請,作了題為「數學與其他科目的關係」的午餐演講。這次分享促使我構想出一個更廣闊的新類比,以說明數學與其他科目(特別是自然科學和社會科學)的分別和關係,而這些分別和關係對數學教育的模式和作用也有所啟示。

可在腦中推導出來

試想像一個由許多島嶼組成的世界。假設世界上只有兩種交通工具:飛機和電車。飛機只可在不同島嶼之間飛行,而電車只可在同一島嶼上行駛,不能過海。此外,我們也可以雙腳走路(但不能游泳)。那麼,科學的知識就像島嶼上的機場,數學知識就像島上的電車站,而思維能力則像走路的能力。我們可注意到,走路可取代電車,但無法取代飛機。

現在,讓我詳細解釋這個類比的邏輯。首先,我們必須明白,數學的研究方法跟科學是有本質分別的。數學依賴的是演繹法(deduction)。例如畢氏定理指出,任何直角三角形的兩條直角邊的平方之和,等於其斜邊的平方。我們驗證這條定理,不是通過畫出很多個直角三角形,量度其邊長,然後檢查是否符合上述關係,而是由幾何學的公理出發,通過邏輯推理而得出證明。只要我們的推理正確,這條定理就一定成立,不可能存在任何反例。

相反,科學的方法除了演繹法,還有很重要的歸納法(induction)(順帶一提,數學中也有「數學歸納法」,但這是一個頗具誤導性的名稱,因為那其實是一種演繹法)。科學雖然有很多邏輯推理,但最終是基於若干實證定律,而這些實證定律無法用邏輯推理得出,只能通過實證觀察來檢驗。例如經典力學中的萬有引力定律(引力與距離的平方成反比),是通過觀察天體運行來檢驗的。當然,有了基本實證定律後,我們便可通過邏輯推理和數學演算,得出更多結論,例如一個均勻球體在球外造成的引力場,猶如該球體所有質量集中在中心點一樣。

綜上所述,數學知識與科學知識的最大分別就是:數學知識可以在腦中推導出來,例如即使我們一時忘記了8+5等於多少,仍可在腦中數數,得出答案。科學知識則不同,例如如果我們不知道空氣中的氧氣成分是多少,無論多麼聰明,都無法在腦中推導出來,因為這必須通過實驗才可找出。因此,數學知識的作用只是為了方便,就像書籤一樣,不用每次都從頭開始推導;相反,科學知識則不只是為了方便,而是在原則上有其必要性。科學的知識和思維之間有清晰的分野,數學的知識和思維之間則沒有。

現在,我們便可輕易明白前述的交通工具類比:我們可通過邏輯思維推導出任何數學知識,就如我們可憑走路到達任何電車站,只是比較慢而已。我們無法通過邏輯思維推導出基本的科學知識,就如我們無法憑走路到達另一島嶼。在求知的過程中,我們往往先以實證方法得出基本科學知識,然後再用數學工具得出進一步推論,就像先坐飛機去了一個島嶼,然後乘電車或走路到達島上的目的地。

例如打桌球時,當白球擊中顏色球後,兩個球的移動方向會構成接近90度角。要明白這點,我們首先需要能量守恒定律的物理知識(即在島上建造機場,以到達該島)。然後,我們要用數學中的畢氏定理的逆命題(即在島上建造電車站),也要用向量幾何的數學思維方法(即在島上走路),從而得出結論。

演講開始前,在座一名資深大律師跟我說,他曾經打過一場關於差餉的官司,也涉及很複雜的數學計算。但我們也必須首先知道案件的基本事實,然後才可運用數學工具算出答案。這跟上一段的例子一樣,都符合「坐飛機—坐電車—走路」的模式。

老師無法悉數傳授

這個交通工具的類比看似有點奇怪,但其實非常有用。很多家長和同學關於數學教育的疑問,只要套入這個類比,都可水到渠成地得出解答。例如有些家長問老師:你可否把(某程度的)所有數學傳授給我的孩子?這個問題本身就是錯誤的——或者更精確地說,是不良好定義的(ill-defined)——因為數學教育的宗旨除了積累知識(建造更多電車站),就是鍛煉思維能力(提升走路能力),而所有數學問題都可從已有知識出發(無論多或少),通過邏輯推理來解答(島上所有目的地都可從某電車站出發,然後走路到達)。但我們不可能把所有數學題目都變成已有知識,正如我們不可能在島上每一寸土地都建造電車站。

其次,由於我們飛到任何一個島上後,都要坐電車或走路到達目的地,這就是為什麼數學在自然科學、社會科學、電腦科學等範疇有這麼重要的角色。在本科讀數學,研究院較容易轉去其他科目,但反過來則很難。上述某些科目的研究院,甚至喜歡取錄本科讀數學的學生,多於本科讀該科目的學生。因此,如果同學興趣廣泛,現階段未能確定將來的路向,則在本科階段主修數學,可保留較大的靈活性。此外,展現數學在其他科目中的具體應用,也是增加同學對數學之興趣的好方法。

最後我們可注意到,這個交通工具的類比也已涵蓋前文的木劍類比的意思:如果我們可在只有較少電車站的情況下,嘗試走到盡量多的目的地,從而鍛煉思維能力,那麼當我們學了更多知識,有了更多電車站後,配合強大的走路能力,便可更迅速地到達不同目的地。我在演講中舉出馮諾伊曼(John von Neumann)和一條蜜蜂數學問題的趣聞軼事,以進一步闡述這道理,但這裏因篇幅關係而從略,有興趣的讀者可搜索這故事。

盧安迪_史丹福大學經濟學系博士生

 

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