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2012年6月14日

李亞力、林建 數裏見真章

時間序列與股市預測

經濟學及金融學裏的數據,很多時候都是以時間序列(time series)的形式來表達。所謂時間序列,指的是用時間排序的一串隨機變量(random variable),例如國家每年的國民生產總值、每個月份公布一次的失業率、恒生指數(或某隻股票)每天的收市價等。序列的時間間隔(time interval)是一個常數【註】,可以是日、周、月、季度、年;但當我們研究高頻金融數據時,這個常數可以小如分、秒,甚至更小的時間單位。

由於在研究時間序列時,時間單位是既定的,我們可以把注意力集中在變量(例如是恒指收市價)的身上。一個極其重要的先決問題是,這個變量有沒有「平穩」(stationary)的特性呢?

價格序列並不平穩

如果一個時間序列內的變量,其統計特性不隨時間的變化而改變者,這個序列可被稱為平穩型時間序列(stationary time series)。所謂變量的統計特性,包括了該變量在什麼水平附近取值(即該量的預期值),以及取值時的變異性(即該量的標準差)。

【圖1】是恒生指數在每月月底的收市指數的時間序列。讀者們請重讀以上平穩序列的特性,然後接受以下考核:「你認為恒指是一個平穩的時間序列嗎?」

答案當然是否定的──恒指並不穩定!原因很簡單:二十多年前它於數千點附近取值,但近年變成萬多二萬點,指數往上移的長期趨勢,並不符合「平穩」的特性。具長期趨勢的時間序列,為數甚多,國民生產總值、物價指數等,都是不穩定的。

有關平穩時間序列的分析,統計學家是成竹在胸的。原來早在八十年代,以Box and Jenkins為首的統計學家,早已為平穩的時間序列建立了一套完整的線性理論(ARMA模型)。但如何把這套「平穩」的理論應用到「非平穩」的股價上呢?最簡單的方法,就是棄股價而改用回報率。

【圖2】就是恒生指數月回報率的時間序列,讀者們可以發覺:【圖1】所呈現的長期趨勢並不在【圖2】出現,所以回報率這個時間序列,就很可能是一個平穩的序列。既然如此,我們當然希望能把類似Box and Jenkins的理論應用到股市上去。

回報率相對穩定

雖然回報率是平穩的,但不代表它一定可被預測。事實上,噪音(white noise)(預期值為零,標準差為常數)也是平穩的時間序列,但噪音是無法預測的。如果回報率是噪音,那麼股價就是隨機漫步(random walk),每一步都把過往拋諸腦後,每一步都是一個新的開始。但假如回報率在噪音以外,還有可以預測的部分,那就可以用來指導我們在股市內的買賣。

譬如說回報率有正的預期值(恒指月回報率平均為0.56%),即表示「長期持有」(buy and hold)一個賺錢的策略,又譬如說月回報率有正的自相關(恒指自相關系數=0.02),那麼價格就有動力(momentum):在一個短時期內,趨勢(trend)可能持續(continue)下去;但如果年回報率有負的自相關(恒指自相關系數=-0.22),那麼價格趨勢(trend)維持一段時間後,有可能會逆轉(reverse)。

逆勢買賣(contrarian trading)可能是致勝之道。統計學所得的結果,可作技術買賣的指路明燈。

把價格轉化為回報率,其實是一個差分(differencing)的過程。回報率基本上是先把價格取對數(logarithm),然後取接連兩天的差(difference)得出。

假如一個時間序列,本身並不平穩,但差分一次後變為平穩過程,原本的時間序列就稱為有一個「單位根」(unit root);假如要差分兩次才能平穩化,序列就有兩個單位根,如此類推。計量經濟學(econometrics)在過去的20年提出了不少的方法,對任何時間序列,例如股票價格,可以統計測試它有多少個「單位根」。

比較可惜的是,對絕大部分股票而言,其價格只有一個單位根,而且由差分得到的回報率,基本上是一個噪音,很難由此得出有效的買賣規律。

「共整合性」 與配對買賣

雖然單獨的股價可能具有非穩定性,但兩隻股票的某一組合(容許沽空)的價格卻可能是穩定的。具體而言:時間序列X(t)和Y(t)為非穩定,但線性組合X(t)-bY(t)卻可能是穩定的。格蘭傑(Granger)在1981年的一篇論文中引入了「共整合性」(cointegration)這個概念。如果上述常數b存在,那麼原時間序列X(t)和Y(t)就具「共整合性」。

筆者曾分析過A股和H股的差價,「共整合性質」比較明顯,令技術分析者可以利用以作配對買賣(pair trading)。根據市場效率的理論,如果pair trading是有利可圖的話,那麼pair trading會變得活躍,因而導致組合價格成為隨機漫步,令技術分析者無技可施。但在市場發揮效率之前,pair traders仍然可以有一定的作為。

註:如果序列的時間間隔並不是一個常數,那麼可把序列視為較廣義的隨機過程。

李亞力博士為香港大學統計及精算學系導師

林建為香港浸會大學榮休教授

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