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2019年7月12日

盧安迪 自由的國度

課室以外的數學

尤德爵士紀念基金自1987年成立以來,一直以各種獎學金計劃支援港人發展。上月有幸應由獎學金得主組成的尤德學者協會邀請,進行題為「數學的文化角色」的小分享,以下是演詞的譯文:

諸君,竟然有人願意出席一場關於數學的講座,實在是一個驚喜(眾笑)。我為什麼這樣說呢?超過半世紀前,一位英國科學家和科學普及者斯諾(C. P. Snow)進行了一次著名演講,題為《兩種文化》(Two Cultures),分享關於文科和理科的文化割裂的一些觀察。

斯諾指出,在任何冠蓋雲集的社交場合,如果問一個人有沒有讀過莎士比亞的某部名著,他必定會說讀過——或許我可以補充,即使他實際上沒有讀過,他也不會好意思承認。但如果問一個人知不知道熱力學第二定律是什麼,很多人都不知道,而且樂意坦承。熱力學第二定律是一項物理學定律,但如果改成一項數學定理(例如代數基本定理),上述規律依然成立。

但我相信博學的大家不用我多講也知道,數學是眾多人類文明成就的基石。所有機械、電子、人工智能技術,背後都是數學原理。在人文藝術方面,無論繪畫的透視法(perspective drawing)還是音樂的和弦,都跟數學密不可分。數學一方面用途廣泛,另一方面則在文化生活中不受重視。今天我想探討這個悖論的成因,然後舉例說明,即使有若干不利因素,數學仍可在我們的文化景觀中找到蹤影。

我認為數學難以進入文化景觀的原因主要有兩個。首先是表達方式上的問題。我們要欣賞一幅畫作,只須用眼睛去看,即使不是專家也能感受其美感。類似地,我們享受音樂也不用懂得看複雜的樂譜。但數學的推理和結果卻是用抽象的符號表達;如果不花很多工夫去明白這套語言,根本無法領略風光。

數學思維超出三維

但我認為還有第二個、更根本的原因,那就是數學思想是超出了人類狀況的界限的。此話何解?我們畫畫,畫裏的景象多屬於三維世界;我們作曲,也不會作給四維空間的假象樂器演奏。但數學則不同:數學不局限於三維空間,而往往是處理一般維度的情況,包括多於三維。

有一部維多利亞時代的短篇小說叫Flatland,講述一個二位平面世界,裏面的人想像不了三維空間,例如看到一幅牆,想像不了從上面翻過去,因為他們的世界裏根本沒有「上面」。同理,因為我們生活在三維世界裏,我們的腦筋已被硬性設定(hard-wired)為只適應三維空間;對於更高維空間,我們只能很抽象地思考,但不能直觀地拿捏。

儘管有這些困難,我們仍可在一些文化作品中找到數學的蹤跡。例如中國的《洛書》有一個「幻方」圖案,即把數字1至9放在一個3乘3的方陣中,使得每行、每列和每條對角線的三個數的總和都是一樣。在小說《射雕英雄傳》中,黃蓉受傷後尋訪瑛姑時,便解出了3乘3幻方,而此書某冊(至少某些版本)的頭幾頁更印載了一個10乘10幻方。

另一個例子是費馬大定理,即當n是大於2的正整數時,不存在整數x、y、z,使得x的n次方加y的n次方等於z的n次方(除非x、y、z其中一些是零)。卡通片《阿森一族》(The Simpsons)的其中一集中,荷馬(Homer Simpson)在一個奇怪的幻境中看到數式「1782的12次方加1841的12次方等於1922的12次方」,即費馬大定理的疑似反例【註】!事實上,《阿森一族》的不少製作人員都是數學愛好者,所以片中還有很多其他數學意象和暗示。

演繹推理影響深遠

但除了個別數學結果的客串現身外,數學和文化還有更深層次的聯繫,那就是在方法論上的影響。大家都知道古希臘的歐幾里德(Euclid)寫了《幾何原本》一書,從幾個基本公理出發,一步一步推導出很多結果,建立龐大的幾何體系。這種演繹推理的方法對數學以外的一些工作也有啟示。

例如美國《獨立宣言》的頭幾句是什麼?「余等以茲道為不證自明者:凡人生而平等,俱得諸無可奪讓之權利於造物主,曰生命、自由、追求幸福之權。」然後逐步推出其他結論,為美國革命的正當性提供基礎。香港大學的蕭文強教授有一篇文章,考證過《獨立宣言》作者傑佛遜(Thomas Jefferson)跟《幾何原本》的關係,包括他曾寫信給朋友提及自己喜歡閱讀《幾何原本》。

近代中國的譚嗣同,以烈士身份最為人知,但也是一個學者。如果我沒有記錯,就連毛澤東都說譚嗣同《仁學》一書對他影響甚大。此書除了採用公理和演繹的方法外,還有一些類似數式的物體,但式中被加減乘除的不是數字,而是形而上學和倫理學的概念。由此可見,數學的思考和表達方式是能夠滲透文化景觀的其他角落的。

盧安迪  史丹福大學經濟學系博士生

註:該條等式的確十分接近成立,以至於如果計算1782/1922和1841/1922這兩個分數的12次方之和,不少計算機都會顯示是等於1!

 

 

(編者按:盧安迪最新著作《自由的國度2──STEM教育與美國》現已發售)

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