2018年8月3日

高中數學教育點評（下）

上周談到，根據個人觀察，在高中數學的各個範疇之中，香港以至東亞學生在幾何方面的觸覺似乎不及其他範疇般靈敏。幸好，由於中學歐幾里德幾何在當今前沿科研中沒有扮演太核心的角色，所以這個弱點對香港科研發展影響不大。那麼，如果從配合科研發展的角度考慮，又會對香港的數學教育有什麼啟示呢？古往今來，科學模型的發展固然取決於當時可供使用的數學工具，但在相反方向，科學研究的需要也往往驅使人們發現新的數學知識。換言之，數學和科學的發展往往並駕齊驅，相輔相成。【註】

以物理學為例，在十七世紀，古典力學的研究方興未艾，物理學家希望以方程描述位移、速度、加速度等變量之間的關係，這便成為了發明微積分的動力之一。微積分的其中一名先驅——牛頓——同時也是古典力學的巨人，實非巧合。

類似地，到了十九世紀，科學家對電磁學的研究，又促使數學家進一步發展多變量微積分。結果馬克士威（James Clerk Maxwell）以4條漂亮的偏微分方程概括了電磁場之間的互動。後來進入二十世紀，愛因斯坦提出廣義相對論，意味着非歐幾里德（non-Euclidean）的時空結構，於是人們對非歐幾里德幾何這一數學領域愈加發掘。

數學科學相輔相成

當然，除了物理學之外，上述道理也適用於其他自然科學和社會科學。例如經濟學雖然在上世紀中葉才引入數學分析，用的數學工具大多早已有之，但也有一些特意為了經濟學而發展出來的數學工具，例如一些計量經濟學的統計工具，以及研究不同變數之間的關係的比較靜態分析（comparative statics）。雖然這些數學結果大可用於其他科學領域，但它們卻往往在經濟學期刊（而非數學期刊）發表，可見經濟學應用對這些數學研究的推動作用。

上述的各個例子有一個共通點，就是它們涉及的大部分是連續數學（continuous mathematics），而非離散數學（discrete mathematics）。什麼是連續數學、什麼是離散數學呢？連續數學研究的是一些連續變化的數量，離散數學研究的則是一些並非連續變化，而是擁有「分立」的值的數量，例如整數（1、2、3等等，但不包括1和2之間的任何數）。

我在本科階段主修數學時，一位教授曾打趣說：「在某些數學範疇，x=y的意思就是x=y；在另一些數學範疇，x=y的意思是對於任何正數a，x都大於y-a而小於y+a。」粗略而言，前者指的就是離散數學，後者指的就是連續數學。

無論是舊制下的會考和高考，還是現在的新高中課程，香港中學數學教育的進階部分素以連續數學為主，微積分一向是課程的最大重點。這不但符合傳統上科學研究的需要，也有助學生進入一些使用大量連續數學的專業工作（例如精算）。

然而，我早前跟香港科技大學數學系副教授——也是其中一位我最尊敬的正人君子——李健賢博士一起接受一間電視台訪問時，卻受到新的啟發。記者問李博士覺得香港和外國的數學教育有什麼分別，李博士說香港的課程包括大量微積分計算的訓練，而一些東歐國家（例如匈牙利、羅馬尼亞）則較多離散數學的內容，而離散數學在今天這個資訊科技時代更趨重要。

宜增離散數學比重

我當時在旁邊聽到李博士這番話，如飲醍醐。誠然，古典自然科學和經濟學研究的大部分變量都是連續的，但由於電腦是由無數個「0或1」的邏輯單位組成，所以其牽涉的數學必然是離散的（雖然有時可以離散的結構來逼近連續的結構）。舉例說，在人工智能研究中，如何進行自然語言處理（natural language processing），便可用到大量組合數學（combinatorics）、圖論（graph theory）等離散數學工具。

讀中學時，除了校內的文憑試課程外，我也自己準備了英國的GCE A Level考試。它有兩個數學選修單元Decision Maths 1和Decision Maths 2，就是關於組合數學和圖論。可惜香港新高中課程的數學選修部分只包括微積分、統計學、代數等課題，而組合數學則只在必修部分之中，同學較難在這方面進行進階學習。

綜上所述，在資訊科技時代的科研應用中，離散數學將變得愈來愈重要。或許有人認為我們只應從純數學的角度去設計數學課程，毋須刻意跟科研應用與時並進。但即使純粹從數學的角度來看，也沒有什麼特別原因要側重連續數學多於離散數學。只有一個既懂得連續（continuous）又懂得離散（discrete）的數學家，才是一個實在（concrete）的數學家！

盧安迪史丹福大學經濟學系博士生

註：香港大學數學系蕭文強教授的Harmonies in Nature: A Dialogue Between Mathematics and Physics一文，就這點作出了更詳盡的論述。

（編者按：盧安迪著作《自由的國度2──STEM教育與美國》現已發售）

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