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2017年2月23日

梁守肫 天圓地方

軟尺成直角 日影助測量

筆者主張學習數理,要從觀察事物、日常生活例子入手,其實正是依循數理發展的軌跡追尋。古時為便於通商,不能事事以物換物方式貿易,於是產生幣制,因而要有算術一科。中世紀時,為發展航海,便有三角幾何、天文等科目,所以數理發展的次序是先觀察自然,應付生活需要;其次是考究推論,得出數理;再後來才是數字運算,解答問題。若使現今教育,一上堂便只顧解答題目、操練運算,而不引導學生了解為何有這類數理項目、為何需要這類運算,則學習數理等於欠缺了生命力。

且讓筆者以一測量實例說明,亦且補序本文以前提及測量日影角度的問題。這是有關角度與長度的課題,中學科目必有學習三角函數的勾股弦,是研究直角三角形中任何兩邊比例與角度的關係。道理很簡單,而學生亦多會掌握運算方法,但問題是:為什麼我們要研究這勾股弦的運算呢?

若學生僅懂得紙筆上的運算,卻從沒有考慮過這「為什麼」,則他們的學習興趣便很難提升,因此他們必須知道世上許多事物都呈現為角度。例如一扇半開的門窗、一把斜放的梯、一道斜陽影子等等,都組成角。若使我們要測定這些角度,實地上可怎麼辦呢?實物所形成的角度不比畫在紙上兩直線所形成的角度,紙上的角度大可用量角器放在紙上,讓量角器的圓心疊於角點,便可以讀出答案,但實地的情況(譬如半掩的門)卻未必容許我們放置量角器在門鉸之點。我們惟有另覓辦法,就是量度該門角所形成的三角形的邊長,然後以勾股弦的公式計算所需角度,這就是現實情況,因許多角度不能直接量度,必要借助量度長度,才能求取所需的角度,這就是要研究長度比例之於角度關係這門學科了。

回說筆者測量的例子,正是量度長度以解決角度的問題,是要測定某一屋的方向,當時是借助太陽的屋影與屋身所形成的角度來解決。這就須先行設定一個直角三角形,然後量度該角的鄰邊長度與對邊長度,由它們的邊長比例計出角度。

辦法是利用一把100呎長的軟尺構成一個直角三角形。筆者先行計算出100呎正是1200吋,亦即等於300吋加400吋再加500吋。如此盤算之下,筆者便指示三位測量工友,放盡該100呎長的軟尺,然後讓一位拿着尺頭(即0呎)及尺尾(即100呎),另一位執着25呎(即300吋)之處,再另一位執着58呎4吋(即700吋)之處,大家拉緊軟尺,如是者,該軟尺便形成一個直角三角形,而25呎之點即為直角。這就是應用了著名的畢氏定理,3的平方加4的平方等於5的平方,這就成為直角三角形。

當然還有另一個整數比例:20比21再比29,也是符合直角三角形的畢氏數字。若是應用這組數字,筆者當時測量,大可叫執尺頭的工友放軟尺至70呎時,緊執這兩個數字,而讓另兩位工友分別緊執第20呎及第41呎,結果也可以構成一個直角三角形,同樣度得所需的日影角度。只是筆者選擇最大的三角形,比較準確,所以實測時一如上述。

現在本港實行公制,不知市面上還有否英制的100呎軟尺出售,不然則30公尺的軟尺必然有售。這供應問題都不重要,主要是學生能夠自行運用數理,衍化為實習行動,加強印象,促進了解,保持興趣,才是學習的正道。軟尺是常見的工具,學生能通過實習「自製」直角三角形,應該較在紙上不斷計算有更深刻印象。

梁守肫_香港測量師學會前會長

 

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