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2018年7月27日

盧安迪 自由的國度

高中數學教育點評(上)

剛結束的書展期間,我有幸與曾鈺成先生就數學和科學教育作了一場30分鐘的對談,期間激發了我對數學教育以及其與其他學科銜接的不少新思考。雖然這些想法還不是太有系統性,但希望可在本文拋磚引玉。

在對談中,我們提到在香港新高中學制下,數學延伸部分的選修人數百分比遠低於舊時會考的附加數學,而且刪去了以前高考和會考的不少較難課題,情況堪憂。上周本欄〈思考香港資優教育〉一文已對這點加以論述,這裏便不重複。

我今天想探討的是不同數學範疇之間的差別和關係,以及這對高中課程的設計有何啟示。一般來說,數學可以分為連續數學(continuous mathematics)和離散數學(discrete mathematics)。在高中範圍內,前者包括微積分和部分代數內容,它們考察的是一些連續變化的數量;後者則包括數論、組合數學和部分代數內容,它們是關於一些並非連續變化,而是擁有「分立」的值的數量。此外,高中數學還包括歐幾里德式的幾何學,較難簡單歸入「連續」或「離散」類別。

曾鈺成先生問我有否觀察到香港學生在不同數學範疇之間的相對優劣。我讀中學時,很多同學最不喜歡和最不擅長的數學範疇都是幾何學。後來我成為了國際數學奧林匹克(International Mathematical Olympiad, IMO)香港代表隊的隊員和教練,發現這個傾向在更具挑戰性的層次愈加明顯。

香港奧數隊常用座標幾何

平均而言,幾何學是香港隊在IMO裏最弱的範疇。幸好香港人善於靈活變通,往往用座標幾何的方法把幾何題目轉化為代數題目,才可繞過缺乏幾何觸覺的弱點。這絕對不是個別幾何導師的問題,因為東亞地區的不少其他隊伍——包括整體實力穩居世界前幾名的中國隊——也經常要出動座標幾何來應付幾何題目。相比之下,來自歐美等地的參賽者則較常使用純幾何方法解題。

這個現象促使我思考:假如東亞學生的幾何觸覺確實偏弱,背後又有什麼原因呢?【註】以下容我提出幾個可能性。

第一,儘管在當代的「政治正確」氛圍下,討論不同種族、性別之間的差異是一個禁忌,但無可否認,不同人種的先天身體構造確實不盡相同。例如,至少作為統計現象,成年男性的身高平均高於成年女性,金髮的人的頭髮數量平均多於黑髮的人。有沒有可能是東亞人種的幾何觸覺天生較弱?我看不到馬上拋棄這一可能性的理由,所以有待進一步研究。

除了先天基因之外,另一個可能性則是後天的培育。粗略而言,在受儒家文化薰陶的社會,人們普遍較注重讀書,所以在一些國際測試中,東亞學生往往名列前茅。當亞裔學生到歐美國家留學,成績也不落下風,甚至「亞裔學生擅長數學」已成為跟「中國人懂功夫」一樣的定型觀念(stereotype)。

然而,東亞社會重視讀書的傳統,會否對年輕人在其他方面的發展形成掣肘?例如東亞學生花較多時間坐在書桌前讀書,美國學校則頗為注重體育活動,這會否導致美國學生有較多機會鍛煉空間感,從而提升幾何觸覺?

再者,歐美不少人都是住在獨立屋,自行進行裝修和建築工程,家中孩子也可從旁協助,東亞學生則較少這些機會,不知這跟空間感的鍛煉有否關係。

無論如何,歐幾里德幾何的觸覺對社會整體發展的影響或許不是太大,因為這類幾何(例如相似三角形等等)已非高等數學的活躍研究領域。雖然高等數學中也有(很抽象的)幾何,因而也需要幾何觸覺,但跟歐幾里德幾何的本質已大異其趣。相較之下,我下周準備論述的數學課程問題,則會對科學研究和科技發展有更直接的影響。

註:這裏考慮的情況不一定是亞裔學生的幾何比其他族裔學生的幾何更弱(因為除了幾何觸覺之外,還有其他因素可提升幾何和其他數學範疇的成績),而是亞裔學生的幾何比亞裔學生的其他數學範疇為弱。當然,這只是我根據個人觀察作出的一個推測;是否成立還待更嚴謹檢驗。

 

盧安迪_史丹福大學經濟學系博士生

 

(編者按:盧安迪著作《自由的國度2──STEM教育與美國》現已發售)

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